ΟΤΑΝ ΠΗΓΑΙΝΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ, επιστρέφοντας στον Πειραιά απ’ το νησί μου, τη Σέριφο, μέσα στα ελάχιστα βιβλία του μοναδικού βιβλιοπωλείου που είχε τότε το νησί υπήρχε και το «Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά» (εκδ. Τραυλός) του Simon Singh. Τότε, γοητευμένος ακόμη απ’ την επιστήμη των μαθηματικών, το αγόρασα επιτόπου, ώστε να το διαβάσω στο κατάστρωμα του πλοίου. Το βιβλίο αυτό πραγματεύεται την ιστορία του δυσκολότερου προβλήματος του κλάδου, που διατύπωσε ο Γάλλος νομικός Πιερ ντε Φερμά και επί τριακόσια πενήντα χρόνια παρέμενε άλυτο – τελικά αποδείχτηκε το 1994 απ’ τον ευφυέστατο Άγγλο μαθηματικό Άντριου Γουάιλς. Η εξιστόρηση του εγχειρήματος ήταν καθηλωτική. Η ευλαβική προσήλωση του Γουάιλς στο πρόβλημα, η μοναχική ρουτίνα που ακολουθούσε και το μεράκι του να λύσει κάτι που φάνταζε ως τότε απροσπέλαστο με είχαν γοητεύσει. Γι’ αυτό κι εγώ μεγαλώνοντας γύρεψα να καταπιαστώ με άλυτα προβλήματα· όχι πως πίστευα ότι θα έλυνα κανένα, αλλά για να βιώσω, έστω αμυδρά και τεχνηέντως, τη διαδικασία στην οποία έμπαινε καθημερινά ο Γουάιλς, στην προσπάθειά του να λύσει το σημαντικότερο τότε ζήτημα της μαθηματικής κοινότητας. Διάλεξα την Εικασία του Γκόλντμπαχ, ένα ζήτημα διατυπωμένο κυριολεκτικά σε μια σειρά και εύκολο στην κατανόηση, και ξεκίνησα να παίζω με μεγαλοπρεπή αφέλεια, δίχως να έχω ιδέα από θεωρία αριθμών ή το οτιδήποτε. Ήταν, προφανώς, μια μετεφηβική φιλοδοξία στα όρια της ματαιοδοξίας. Ένα χαρακτηριστικό της νεότητας.
Όσο ένα απ’ τα μεγαλύτερα προβλήματα των μαθηματικών θα λύνεται από χιλιάδες υπερ-ικανά μποτάκια με υπολογιστική δύναμη, το ρομαντικό όνειρο της επιστήμης θα πεθαίνει. Αλλά ας μην είμαστε καταστροφολόγοι ώστε να θεωρούμε ότι το ΑΙ θα φέρει αναγκαστικά την καταστροφή στις επιστήμες. Σε τελική ανάλυση, μας λύνει τα χέρια.
Ο καιρός, λοιπόν, πέρασε, τα μαθηματικά έπαψαν να με απασχολούν και με κέρδισε η λογοτεχνία. Αρκετές φορές έπιανα τον εαυτό μου να αναρωτιέται πώς και γιατί είχα κάνει μια τέτοια μετάβαση. Πώς από κάτι αμιγώς επιστημονικό κατέφυγα σε μια τέχνη; Τι κοινό μπορεί να έχουν αυτές οι δύο έννοιες, εν τέλει; Η απάντηση είναι μάλλον απλή και τη συνειδητοποίησα σχετικά πρόσφατα. Στην ουσία με είχε κερδίσει η ιστορία του Γουάιλς, που έμαθα όταν ήμουν έφηβος, η μοναχική διαδικασία της δημιουργίας – οποιασδήποτε, είτε αφορούσε την τέχνη, είτε την επιστήμη. Όπως μπορεί να φανταζόμουν στο δωμάτιό του τον Ντοστογιέφσκι να συγγράφει τους «Αδελφούς Καραμάζοφ» ή τον Μπετόβεν να συνθέτει μια συμφωνία, έτσι κι εκείνος, ανάμεσα σε πυκνογραμμένα χαρτιά με περίπλοκες συναρτήσεις και εξισώσεις, συνέθετε το δικό του αριστούργημα κομμάτι κομμάτι. Υπό αυτή την εντελώς αφαιρετική ματιά, ο συμπαθέστατος κύριος Γουάιλς έκανε, άθελά του, ένα είδος τέχνης. Κι έπειτα από μία δεκαετία επίπονης σκέψης, εμμονικής συγκέντρωσης, ψυχικής και σωματικής εξάντλησης αλλά και καταφανούς τέρψης, μας αποκάλυψε το κομψοτέχνημά του. Όλα τούτα τα αναφέρω για να καταλήξω στον ρομαντισμό της διαδικασίας. Στη λαχτάρα τού να κυνηγάς το αδύνατο και να το καταφέρνεις· να ονειρεύεσαι πως κάποια μέρα θα αγγίξεις την οργασμική στιγμή του «εύρηκα»· να παλεύεις γι’ αυτή ακόμη κι αν φαντάζει ένα απατηλό όνειρο. Το ταξίδι μέχρι να φτάσεις στην οποιαδήποτε λύση είναι εκείνο που της δίνει αξία. Η λύτρωση τού να αναμετριέσαι με τον εαυτό σου, να αφιερώνεις ώρες στον καλλιτεχνικό και δημιουργικό μοναχισμό. Σε αυτό το σημείο ίσως να διαφωνήσετε: ποιος νοιάζεται για την προσωπική τέρψη ενός επιστήμονα μπροστά στο καλό που θα προσφέρει η λύση του; Τι μας ενδιαφέρει πώς το κατάφερε αφού το κατάφερε και η ανθρωπότητα καρπώνεται τα πλεονεκτήματα; Ας δούμε, λοιπόν.
Πίσω στο σωτήριο έτος 2000, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay παρουσίασε τα επτά κορυφαία άλυτα μαθηματικά προβλήματα της χιλιετίας. Όποιος κατάφερνε να λύσει ένα από αυτά, θα λάμβανε το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Το 2002 ο ιδιότυπος Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Περελμάν απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ· ένα από τα επτά αυτά προβλήματα. Το 2006 αρνήθηκε να παραλάβει το μετάλλιο Φιλντς (το σημαντικότερο βραβείο των μαθηματικών) και το 2010 το έπαθλο του ενός εκατομμυρίου. Μέχρι σήμερα, λοιπόν, καθώς φαινόταν, είχαν απομείνει έξι άλυτα προβλήματα, με τα οποία μαθηματικοί απ’ όλες τις γωνιές του πλανήτη καταπιάνονται με το όνειρο μια μέρα να γίνουν οι επόμενοι Γουάιλς ή Περελμάν, να λάβουν τις δάφνες και τα λάφυρα της νίκης, εξασφαλίζοντας μια θέση στην ακαδημαϊκή αιωνιότητα και στα βιβλία της σύγχρονης ιστορίας. Κι αν αυτήν τη θέση την έπαιρναν οι υπολογιστές και η γνωστή σε όλους μας τεχνητή νοημοσύνη; Εκεί τι θα συνέβαινε; Οι υποθέσεις δεν είναι πλέον υποθέσεις.
Το πρωί της Τρίτης, 8 Σεπτεμβρίου, η OpenAI ανακοίνωσε πως έλυσε ένα απ’ τα έξι εναπομείναντα προβλήματα της χιλιετίας, τις εξισώσεις Navier-Stokes σε τρεις διαστάσεις. Μάλιστα, η γλώσσα προγραμματισμού Lean, η οποία ειδικεύεται στις μαθηματικές αποδείξεις, επιβεβαίωσε τη συμβατότητα της απόδειξης και μένει να επικυρωθεί για να την αποδεχτεί καθολικά η επιστημονική κοινότητα. Ας εξετάσουμε επιγραμματικά τι είναι οι εξισώσεις Navier-Stokes και γιατί μας ενδιαφέρουν τόσο πολύ. Στην ουσία, αποτελούν ένα σύστημα μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, το οποίο περιγράφει τις κινήσεις των ρευστών και όχι μόνο. Εφαρμόζουν, κοντολογίς, τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα πάνω στον τρόπο που κινούνται τα ρευστά. Βρίσκουν εφαρμογή σχεδόν σε όλες τις επιστήμες (ιατρική, αεροδυναμική, μηχανική), μοντελοποιώντας την κίνηση των ρευστών (ή του αέρα) και προβλέποντάς την. Το πρόβλημα ως τώρα ήταν πως οι επιστήμονες δεν είχαν αποδείξει ότι δεδομένων κάποιων καθορισμένων (και λογικών) συνθηκών (συγκεκριμένη πίεση, ταχύτητα, χρόνος κ.λπ.) αυτές οι εξισώσεις θα έχουν πάντα ρεαλιστικές λύσεις και θα κυλούν ομαλά στον χώρο και τον χρόνο. Αντιστρόφως, δεν είχαν βρει συνθήκες που θα εμπόδιζαν τις εξισώσεις να βγάζουν κάποιο νόημα. Κι όμως, τα bots της OpenAI μας είπαν ότι τις βρήκαν. Εντόπισαν μια λύση των εξισώσεων σύμφωνα με την οποία σε πεπερασμένο χρόνο και συγκεκριμένες συνθήκες ένα υγρό μπορεί να κινείται με άπειρη ταχύτητα, γεγονός που, όπως αντιλαμβάνεστε, δεν βγάζει κανένα απολύτως νόημα. Φυσικά, οι εξισώσεις δεν αποδείχθηκαν λαθεμένες, κάθε άλλο, απλώς θεωρούν το υγρό ως κάτι συνεχές με μαθηματικούς όρους, ενώ στην πραγματικότητα αποτελείται από μόρια, άρα γίνεται σημαντικά πιο περίπλοκο. Η πραγματικότητα πάντα είναι πιο περίπλοκη. Σωστά;
Ας μελετήσουμε προσεκτικά το χρονικό της επίλυσης με λίγα ψήγματα χιούμορ. Άνθρωποι της OpenAI είδαν κάτι φήμες στο Χ ότι η Anthropic (σ.σ. ανταγωνιστές τους) κατάφερε να λύσει δύο (!) απ’ τα προβλήματα της χιλιετίας, χωρίς να τα κατονομάζουν. Οι πρώτοι ζήλεψαν κάπως και είπαν «μια που είμαστε κι εμείς τόσο δυνατοί, με τόσο δυνατές μηχανές, γιατί να μην προσπαθήσουμε να λύσουμε κι εμείς κανένα, για τον χαβαλέ;». Έτσι, ασχολήθηκαν κυριολεκτικά και με τα έξι εναπομείναντα προβλήματα, είδαν ότι αποτελέσματα έφερνε μόνο εκείνο των εξισώσεων Navier-Stokes, καθώς με λιγότερη υπολογιστική δύναμη κατάφεραν να λύσουν χαλαρά τις εξισώσεις Euler, οπότε έριξαν 10.000 μποτάκια στη φάμπρικα, ώστε να λύσουν το μεγάλο πρόβλημα (Navier-Stokes). Μετά από 88 ώρες περίπου (και κάτι εκατομμύρια δολάρια) είχαν την απάντηση. Και όπως κάθε απόδειξη γιγαντιαίων διαστάσεων που σέβεται τον εαυτό της, δεν έλειψε και το λεγόμενο drama γύρω απ’ αυτήν, το οποίο μπορείτε να ψάξετε στο διαδίκτυο – σκοπός του άρθρου δεν είναι να περιγράψει τη σαπουνόπερα μεταξύ τεχνολογικών κολοσσών αλλά να δείξει πώς παντοδύναμα συστήματα τεχνητής νοημοσύνης είναι ικανά να επιλύσουν μέσα σε μερικές μέρες τα μεγαλύτερα προβλήματα της ιστορίας. Τούτη τη συνθήκη μπορεί πολύ εύκολα κανείς να την κατατάξει στα θετικά του ΑΙ (ας μην το ενοχοποιούμε για όλα), αλλά σε αυτή την περίπτωση τι συμβαίνει με την τέχνη των μαθηματικών; Χάνουμε ένα κομμάτι της ψυχής μας όταν δίνουμε τη δυνατότητα στις μηχανές να πουν το «εύρηκα»; Ναι, ξέρω. Χρησιμοποιούμε κυριολεκτικά καθημερινά τη βοήθεια των υπολογιστών, για οποιοδήποτε πρόβλημά μας. Είναι μέρος της ζωής μας, ένα εργαλείο και ο λόγος που το φτιάξαμε εξαρχής. Ωστόσο, εδώ το ζήτημα είναι βαθύτερο.
Όπως κάθε τέχνη, έτσι και κάθε επιστήμη έχει τη δική της ιστορία. Το δικό της lore, όπως λένε οι τελευταίες γενιές, τη δική της μυθολογία. Υπάρχουν ημερομηνίες που έχουν σημαδέψει κάθε κλάδο. Έργα μνημειώδη που έχουν δημιουργήσει ολόκληρα ρεύματα σε κάθε κουλτούρα. Κάθε τέχνη και επιστήμη χαράζει τον δικό της δρόμο. Κι αν τα μαθηματικά έχουν φτάσει σε αδιέξοδο; Μια κατάσταση όπου κάθε πρόβλημα θα λύνεται απλώς με το πάτημα ενός κουμπιού; Προφανώς, μπορούμε εύκολα να ισχυριστούμε πως αυτή είναι η απόλυτη βελτιστοποίηση των πραγμάτων και η πεμπτουσία της ίδιας της ύπαρξης των μαθηματικών. Κάθε μας γνώση, κάθε πράξη, εδώ και αιώνες, μας οδήγησε ακριβώς στη θέση που βρισκόμαστε τώρα – εκεί που θέλαμε να είμαστε. Επειδή ακριβώς είμαστε ανίκανοι να λύσουμε τόσο μεγάλα και πολύπλοκα προβλήματα μόνοι μας, φτιάξαμε τα μαθηματικά, από τα οποία προήλθε η μαθηματική γνώση που θα έδινε τις λύσεις, ενώ εμείς θα κοιτούσαμε. Πετύχαμε τον αρχικό σκοπό της έρευνάς μας. Όλα υπάγονται στους κανόνες μιας κυνικής βελτιστοποίησης. Βρήκαμε τον τρόπο να λύνουμε προβλήματα. Τέλος. Παρακάτω τι έχει, λοιπόν; Τι επιφυλάσσει το μέλλον; Η ιστορική πορεία τερματίζει κάπου εδώ ή αναγεννιέται ως κάτι καινούργιο που δεν μπορούμε καν να φανταστούμε για την ώρα; Δεν είμαι ειδικός, οπότε δεν μπορώ να προβλέψω πού θα καταλήξουν οι επιστήμες. Ίσως δεν δικαιούμαι να ανοίξω καν τέτοια συζήτηση, άλλωστε στο Πολυτεχνείο ήμουν απ’ τους ελάχιστους του έτους μου που κόπηκαν στο μάθημα «Φιλοσοφία της Επιστήμης». Παρ’ όλα αυτά, υπογραμμίζω ένα ζήτημα που δεν είναι πλέον κρυφό, είναι μέρος της ζωής μας.
Κοινωνικοπολιτικά αν εστιάσουμε, σαν να ακούω μερικές φωνές να λένε ήδη: γιατί γκρινιάζεις, φίλε; Όλα οδηγούν στην αυτοματοποίηση των μέσων παραγωγής. Ο καπιταλισμός οδηγείται στο τέλος του, τα χρήματα δεν θα έχουν καν αξία στο μέλλον. Όλα θα τα κάνουν οι μηχανές. Μετά από αυτό ίσως έρθει ένας σοσιαλισμός, ας πούμε. Ίσως έρθει και το τέλος της ανθρωπότητας. Ποιος ξέρει; Αλλά οδηγούμαστε εκεί. Στην αυτοματοποίηση. Όλα θα λύνονται με το πάτημα ενός κουμπιού. Αυτό θέλαμε, αυτό ψάχναμε, αυτό και κάναμε. Είναι πιθανό δίχως αυτή τη συγκλονιστική υπολογιστική δύναμη το εν προκειμένω πρόβλημα της χιλιετίας να μη λυνόταν ποτέ. Αυτό θα ήταν καλύτερο; Άλλωστε η ίδια η ανθρωπότητα με τις ιδέες της δημιούργησε κάτι τόσο θηριώδες που λύνει τέτοια προβλήματα από μόνο του. Εκεί θα οδηγούμασταν νομοτελειακά. Οπότε, προς τι τόση κινδυνολογία και φόβος; Εντάξει, τα μαθηματικά δεν θα πεθάνουν. Ίσως αναγεννηθούν και γίνουν κάτι εντελώς καινούργιο. Ίσως να φτιάχτηκαν ώστε κάποια στιγμή να πάψουν να μας απασχολούν και να μετατραπούν σε μία άλλη φιλοσοφική έννοια.
Άλλωστε, τα μαθηματικά δεν είναι τέχνη, είναι ψυχρή λογική – έτσι δεν είναι; Εδώ διαφωνώ. Τα μαθηματικά μπορεί να είναι λογική –προσωπικά αποστρέφομαι καθετί θετικιστικό–, αλλά για έναν άνθρωπο ο οποίος ασχολείται με αυτά δεν είναι καθόλου έτσι, και αυτό είναι απείρως σημαντικότερο. Ανέκαθεν πίστευα στο πώς νιώθει ο άνθρωπος όταν δημιουργεί κάτι, όχι στις ψυχρές έννοιες καθαυτές, γιατί από μόνες τους δεν λένε τίποτα. Και εξηγούμαι.
Ο τρόπος που αντιμετωπίζονται τα άλυτα προβλήματα απ’ τον εκάστοτε μαθηματικό είναι κάτι μυστηριακό. Φέρει το άρωμα μιας άπιαστης έννοιας που διεγείρει τον νου, τον εξιτάρει και του υπενθυμίζει τον λόγο για τον οποίο ασχολήθηκε με αυτή την επιστήμη εξαρχής. Τον κάνει να νιώθει καλλιτέχνης. Αν τα πάντα λύνονται απ’ τις μηχανές, τότε ποιος ο λόγος να βρει ένας νέος άνθρωπος κίνητρο να ασχοληθεί με τα μαθηματικά; Θα απαντούσε κανείς «ας βρει να κάνει κάτι άλλο». Ας αφιερωθεί στην πραγματική τέχνη. Δεν είναι ανάγκη να βγάζουμε μαθηματικούς αν δεν τους χρειαζόμαστε. Ο κόσμος εξελίσσεται. Το επάγγελμα θα εκλείψει, γιατί αυτή είναι η φυσική ροή των πραγμάτων.
Κι αν οι μαθηματικοί έχουν πρόβλημα με αυτό; Ας δούμε μερικές αντιδράσεις κάποιων σπουδαίων νέων μυαλών της εποχής. Ο 37χρονος Κινέζος μαθηματικός Γιου Ντενγκ (μετάλλιο Φιλντς 2026) δήλωσε μεταξύ σοβαρού κι αστείου πως αν το ΑΙ φτάσει στο σημείο να λύνει όλα τα μαθηματικά προβλήματα, θα τα παρατήσει όλα και θα γράφει ρομαντικά μυθιστορήματα (ίσως κι εκεί να τον έχει προλάβει το ΑΙ). Ο 39χρονος Άγγλος Τζέιμς Μέιναρντ (μετάλλιο Φιλντς 2022) επισημαίνει πως ο ανταγωνισμός μεταξύ των κολοσσών του ΑΙ οδηγεί μεν σε λύσεις, αλλά αφαιρεί τη διαδικασία της κατανόησης, που θα οδηγούσε έναν άνθρωπο σε αυτές. Βέβαια, δεν παύει να είναι αισιόδοξος για το μέλλον. Ο Μάικλ Χάρις, καθηγητής του Πανεπιστημίου Κολούμπια, δηλώνει, λιγότερο ψύχραιμα, πως αυτός ο τρόπος π.χ. που λύθηκαν οι εξισώσεις Navier-Stokes, είναι εξαιρετικά ζημιογόνος για τον κλάδο, καθώς θέτει τους μαθηματικούς στο περιθώριο και πείθει τους νέους ότι το πάθος τους για τα μαθηματικά δεν έχει μέλλον.
Ο καθένας έχει την άποψή του, υπάρχει ένα ευρύ φάσμα αντιδράσεων, όπως συμβαίνει πάντοτε. Παρεμπιπτόντως, κάπου εδώ να σημειωθεί πως στις 4 Σεπτεμβρίου η Anthropic ανακοίνωσε πως το Claude απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (στη λύση του οποίου, όπως ανέφερα, ο Άντριου Γουάιλς αφιέρωσε χρόνια) λειτουργώντας αυτόνομα, μέσα σε έντεκα μέρες. Τα συμπεράσματα δικά σας.
Για να μη μακρηγορώ, όσο ένα απ’ τα μεγαλύτερα προβλήματα των μαθηματικών θα λύνεται από χιλιάδες υπερ-ικανά μποτάκια με υπολογιστική δύναμη, το ρομαντικό όνειρο της επιστήμης θα πεθαίνει. Αλλά ας μην είμαστε καταστροφολόγοι. Δεν έχω τόσο αναχρονιστικές αντιλήψεις ώστε να θεωρώ ότι το ΑΙ θα φέρει αναγκαστικά την καταστροφή στις επιστήμες. Σε τελική ανάλυση, μας λύνει τα χέρια. Τα μαθηματικά προβλήματα που υπάρχουν είναι χιλιάδες και χιλιάδες άλλα θα γεννηθούν. Η τέχνη τού να ανακαλύπτουμε προβλήματα δεν θα πεθάνει ποτέ. Η τέχνη τού να τα λύνουμε όμως; Δεν θα λέγαμε ποτέ σε έναν ζωγράφο να παραδώσει τα πινέλα του σε ένα ρομπότ, για να ζωγραφίσει αυτό στη θέση του. Ή μήπως το έχουμε κάνει ήδη;
