Μπορείτε να λύσετε αυτόν τον viral μαθηματικό γρίφο;

Μπορείτε να λύσετε αυτόν τον viral μαθηματικό γρίφο; Facebook Twitter
Ένας γρίφος λογικής για τους έφηβους μαθητές, προκαλεί πονοκέφαλο ακόμα και στους πιο έξυπνους ενήλικες
175

Οι μαθητές που είναι καλοί στα Μαθηματικά, συμμετέχουν στη Μαθηματική Ολυμπιάδα. Μία απ' τις ερωτήσεις που έπρεπε να απαντήσουν οι μαθητές στη Σιγκαπούρη έγινε viral σε όλο τον κόσμο, και από χτες όλοι προσπαθούν να την απαντήσουν. (Πολύ καλύτερο απ' το να προσπαθούμε να μαντέψουμε αν το φόρεμα ήταν λευκό ή χρυσό, ή αν η γάτα ανεβαίνει ή κατεβαίνει.)

Παρ' ό,τι ήμουν απ' τους χειρότερους μαθητές στα Μαθηματικά (έχω πάρει 02 σε διαγώνισμα και παραλίγο να κοπώ σε εξετάσεις) στην τρίτη γυμνασίου επιλέχθηκα απ' την τάξη μου για να μας εκπροσωπήσω στην Μαθηματική Ολυμπιάδα. Ήταν μια σοκαριστική στιγμή, για όλους, που θα την αφηγηθώ κάποια άλλη φορά. 

Προς το παρόν θα μεταφέρω το πρόβλημα, όπως το διάβασα στο Guardian:

Μπορείτε να λύσετε αυτόν τον viral μαθηματικό γρίφο; Facebook Twitter

Λοιπόν:

Ο Albert και ο Bernard μόλις έγιναν φίλοι με την Cheryl και την ρώτησαν πότε είναι τα γενέθλιά της. Κι αυτή η εκνευριστική (αντί να τους πει και να τελειώσει το θέμα και να μείνουμε όλοι ικανοποιημένοι) τους δίνει μια λίστα με τις πιθανές ημερομηνίες:

15 Μαΐου     16 Μαΐου   19 Μαΐου

17 Ιουνίου   18 Ιουνίου

14 Ιουλίου   16 Ιουλίου

14 Αυγούστου  15 Αυγούστου  17 Αυγούστου

Μετά, η Cheryl λέει στον Albert και τον Bernard ξεχωριστά, τον μήνα και την ημέρα των γενεθλίων της αντιστοίχως.

Είπαν μετά:

Albert: «Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl, αλλά ξέρω πως ούτε ο Bernard γνωρίζει.» 

Bernard: «Αρχικά δεν γνώριζα, αλλά τώρα [που άκουσα τον Albert] ξέρω.»

Albert: «Ε, τότε κι εγώ ξέρω πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl».

  

[Να δοθεί έμφαση στο ότι η Cheryl αποκάλυψε στον Albert μόνο τον μήνα και στον Bernard μόνο τον αριθμό της ημέρας. Άρα ο Albert έμαθε ότι τα γενέθλια είναι τον Μάιο, τον Ιούνιο, τον Ιούλιο ή τον Αύγουστο, ενώ ο Bernard έμαθε ότι η ημερομηνία είναι μία απ' τις ακόλουθες: 14, 15, 16, 17, 18, 19.]

Άρα, πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl;

 

 

*Γράψτε στα σχόλια τι πιστεύετε, και ξαναελάτε σε μερικές ώρες για το update μου, όπου θα δίνω τη σωστή απάντηση και θα εξηγώ πώς οδηγηθήκαμε σε αυτήν. 

 

 

UPDATE: O Alex Bellos του Guardian δίνει τη λύση   

 

Ο αρθρογράφος που ανέδειξε το θέμα, αποκαλύπτει πότε γεννήθηκε τελικά η Cheryl...

 

Όπως θυμάστε, στον Albert είπε το μήνα Μάιο, Ιούνιο, Ιούλιο ή Αύγουστο. 

Στον Bernard είπε 14, 15, 16, 17, 18 ή 19

Ας το δούμε βήμα βήμα:

Albert: «Δεν γνωρίζω πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl, αλλά ξέρω πως ούτε ο Bernard γνωρίζει.»

 

Το μόνο που ξέρει ο Albert είναι το μήνα, και κάθε μήνας έχει πάνω από μία πιθανή ημερομηνία, οπότε είναι αυτονόητο ότι δε γνωρίζει την ακριβή ημερομηνία - άρα το πρώτο μέρος της πρότασης είναι πλεονασμός.

Ο μόνος τρόπος που ο Bernard θα μπορούσε να γνωρίζει τα γενέθλια χάρη σε έναν αριθμό, θα ήταν αν η Cheryl του είχε πει 18 ή 19, μιας και απ' τις δέκα πιθανές ημερομηνίες μόνο αυτοί οι αριθμοί εμφανίζονται μόνο μια φορά, (19 Μαϊου και 18 Ιουνίου). 

Για να ξέρει ο Albert ότι ο Bernard δεν γνωρίζει, η Cheryl πρέπει να είπε στον Albert ότι τα γενέθλια είναι τον Ιούλιο ή τον Αύγουστο, μιας και κανένας απ' τους δύο μήνες δεν έχει το 18 ή το 19. 


Bernard: «Αρχικά δεν γνώριζα, αλλά τώρα [που άκουσα τον Albert] ξέρω.»

 

Ο Bernard δια της ατοπου απαγωγής κατάλαβε ότι ο Albert ξέρει πως ο μήνας είναι είτε ο Αύγουστος ή ο Ιούλιος. Από τη στιγμή που λέει πως κατάλαβε ποια είναι η πλήρης ημερομηνία, πρέπει να του είπε η Cheryl το 15 το 16 ή το 17, μιας και αν του είχε πει το 14 δεν θα μπορούσε να ξέρει αν ο μήνας ήταν ο Αύγουστος ή ο Ιούλιος. Και το 15 και το 16 και το 17 αντιστοιχούν σε έναν και μόνο μήνα, ενώ το 14 θα μπορούσε να σήμαινε οποιονδήποτε απ' τους δύο. 

 


Albert: «Ε, τότε κι εγώ ξέρω πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl».

 

Άρα ο Albert καταλαβαίνει πως πλέον οι πιθανές ημερομηνίες είναι η 16η Ιουλίου, η 15η Αυγούστου και η 17η Αυγούστου. Για να λέει πως γνωρίζει όμως τα γενέθλια, πρέπει η Cheryl να του είπε ότι ο μήνας είναι ο Ιούλιος. Αν του είχε πει Αύγουστο δεν θα μπορούσε να ξέρει με σιγουριά την ημερομηνία. 

 

Η απάντηση λοιπόν, είναι πως τα γενέθλια της Cheryl -και μην ξεχάσουμε να της ευχηθούμε- είναι στις 16 Ιουλίου. 

Μπράβο σε όσους το βρήκαν :)

175

ΔΕΙΤΕ ΑΚΟΜΑ

Οι προβληματικές, βαθιά σεξιστικές δηλώσεις του Δημήτρη Παπανώτα για την «υστερία» των γυναικών - Μικροπράγματα

Mικροπράγματα / Οι προβληματικές, βαθιά σεξιστικές δηλώσεις του Δημήτρη Παπανώτα για την «υστερία» των γυναικών

«Υστερικές» όσες μιλούν συνεχώς για τα γυναικεία δικαιώματα και «τα θέλουν» όσες είναι θύματα καταπίεσης και δεν το καταγγέλλουν, μάς ενημερώνει ο υποψήφιος ευρωβουλευτής, Δημήτρης Παπανώτας.
ΑΠΟ ΤΗ ΒΑΝΑ ΚΡΑΒΑΡΗ

σχόλια

20 σχόλια
17 αυγουστουοι ημερομηνιες 19 μαιου και 18 ιουνιου απορρίπτονται απο τον ALBERT γιατι ο BERNARD θα γνωριζε τη λυση απο την αρχη.Αν η cheryl ελεγε στον Albert για τον Ιουνιο τοτε αμεσως ο albert θα ελεγε οτι ειναι η 17 ιουνιου .Ο bernard ταλαντευονταν μεταξυ 17 ιουνη και 17 αυγουστου.Οταν ο albetr ειπε οτι και αυτος δεν γνωριζει ποτε ειναι τα γενεθλια κατευθειαν η επιλογη 17 ιουνη απορριφθηκε.Αρα η μοναδικη ημερομηνια ειναι Η 17 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ
O Albert γνωρίζοντας μόνο το μήνα των γενεθλίων, δεν μπορεί να γνωρίζει την ακριβή ημερομηνία αφού όλοι οι πιθανοί μήνες έχουν τουλάχιστον δύο επιλογές. Αναφέρει ωστόσο ότι ούτε και ο Bernard-που γνωρίζει μόνο την ημέρα- είναι σε θέση να γνωρίζει. Άρα οι επιλογές 19 και 18 που εμφανίζονται μόνο μια φορά αποκλείονται. Οι επιλογές αυτές αντιστοιχούν στις ημερομηνίες 19 Μαΐου και 18 Ιουνίου. Ο Albert παρόλο που έχει αυτή την πληροφορία-και πριν κάνει δηλώσεις ο φίλος του-συνεχίζει να μην ξέρει την ακριβή ημερομηνία. Ο Ιούνιος πλέον όμως έχει μόνο μία επιλογή (17 Ιουνίου).Άρα αν αυτή αυτή αντιστοιχούσε στα γενέθλια της Cheryl ο Albert θα έπρεπε να το γνωρίζει πια-κάτι που δε συμβαίνει. Επομένως αποκλείεται και αυτή η ημερομηνία. Οι επιλογές που μας έχουν μείνει είναι: 15& 16 Μαΐου, 14& 16 Ιουλίου και 14, 15& 17 Αυγούστου. Ο Bernard αν και αρχικά δεν ήξερε, μετά τις δηλώσεις του Albert μας λέει ότι γνωρίζει . Άρα πρόκειται για έναν αριθμό που εμφανίζεται μόνο μια φορά στις επιλογές που έχουν απομείνει. Έχουμε λοιπόν δύο 14, δύο 15, δύο 16 και ένα 17.Μόνο η ημερομηνία 17 Αυγούστου ικανοποιεί το κριτήριο μας. Αν ήταν οποιαδήποτε άλλη ημερομηνία ο Bernard δε θα μπορούσε να είναι σίγουρος. Έτσι και ο Albert-που προφανώς ήταν ανάμεσα στις ημερομηνίες του Αυγούστου-βρίσκει πλέον τη σωστή ημερομηνία κάνοντας ακριβώς αυτή τη σκέψη.
Ο Bernard γνωρίζει μόνον την ημέρα. Άρα για να μη ξέρει πότε είναι τα γεννέθλιά της, αποκλείονται η 19 Μαίου και η 18 Ιουνίου που είναι και οι μόνες διαφορετικές ημέρες (19 και 18 υπάρχουν μόνον μια φορά).Έτσι απομένει τον Ιούνιο μόνον η 17η Ιουνίου. Για να μην μπορεί να απαντήσει και ο Albert εξαιρείται και αυτή.Οι υπόλοιπες που απομένουν σχηματίζουν ζεύγη (15-15 16-16 14-14).Μόνον η 17η Αυγούστου απομένει χωρίς ζευγλαρωμα. Για να λέει ο Bernard ότι "τώρα ξέρω" και να λέει το ίδιο και ο Albert, πάει να πει ότι η ημερομήνια είναι 17 Αυγούστου. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση κανείς τους δεν θα μπορούσε να απαντήσει.
Δεν είναι Μάιο και Ιούνιο γιατί αλλιώς δεν θα ήταν σίγουρος ο Albert πως ο Bernard δεν ξέρει κι αυτό γιατί οι δύο αυτοί μήνες έχουν τους μοναδικούς αριθμούς 18 και 19. Οπότε ο Bernard μόλις διαπίστωσε ότι φεύγουν από την μέση αυτοί οι δύο μήνες κατάλαβε αμέσως την ημερομηνία των γενεθλίων γιατί του είχε δώσει τον αριθμό 16, που υπάρχει μόνο στον Ιούλιο πλέον μια και ο Μάιος έφυγε απ' τη μέση.Από αυτό κατάλαβε και ο Albert πως η μέρα γενεθλίων δεν είναι το 14, γιατί επαναλαμβάνεται σε Αύγουστο και Ιούλιο και σε αυτή την περίπτωση ο Bernard θα μπερδευότανε και με το βρει κι αυτός την ημερομηνία των γενεθλίων σημαίνει πως ο μήνας που του έδωσε είναι ο Ιούλιος.Αρατα τα γενέθλια είναι στις 16 Ιουλίου.
1. Από την πρώτη πρόταση έχουμε: 1α: Ο Albert δεν γνωρίζει πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl. 1β: Ο Bernard δεν γνωρίζει πότε είναι τα γενέθλια της Cheryl.2. Ο μόνος τρόπος να γνωρίζει ένας εκ των δύο την ημερομηνία, μόνο με το ένα στοιχείο (μήνας ή ημέρα) είναι το στοιχείο αυτό να απαντάται μόνο μια φορά, ώστε το άλλο να μην έχει σημασία. Οπότε (1α και 1β) δεδομένου ότι κανείς τους δεν ξέρει, κάθε περίπτωση που ένα τουλάχιστον στοιχείο της δεν υπάρχει ξανά απορρίπτεται. Κατά συνέπεια, από 1β και 2 βγαίνουν εκτός τα 19 Μαΐου και 18 Ιουνίου.3. Από τη δεύτερη πρόταση ξέρουμε πως ο Albert ξέρει πως ο Bernard δεν ξέρει την απάντηση. Οπότε ο Albert ξέρει πως ο Bernard ξέρει πως δεν είναι καμιά από τις ημερομηνίες 19 Μαίου και 18 Ινουνίου η σωστή. Αφού έφυγε το 18 Ιουνίου, το 17 Ιουνίου είναι το μόνο που έχει Ιούνιο πλέον, οπότε (1α) ο Albert το απορρίπτει.4. Από τη δεύτερη πρόταση ξέρουμε πως ο Bernard πλέον γνωρίζει την ημερομηνία αφού άκουσε τον Albert, ενώ πριν δεν τη γνώριζε (ώστε να αποκλειστεί το 17 Ιουνίου). Ο μόνος τρόπος για να συντελεστεί αυτή η αλλαγή είναι να έμεινε κάποιος αριθμός μόνος του από τους προηγούμενους αποκλεισμούς (που πριν είχε ζευγάρι). Μόνο το 17 πληροί αυτές τις συνθήκες οπότε η ημερομηνία είναι 17 Αυγούστου.
Ο Bernard γνωρίζει τη μέρα, αλλά δε γνωρίζει την ημερομηνία. Συνεπώς, όπως έχει αναφερθεί, αποκλείονται οι 19 Μαΐου και 18 Ιουνίου. Ωστόσο, ο Albert, που γνωρίζει το μήνα, αναφέρει πως ούτε αυτός, ούτε ο Bernard γνωρίζουν με τα στοιχεία τους ξεχωριστά την πλήρη ημερομηνία. Επομένως, αν ο Albert ξέρει ότι ο Bernard δε γνωρίζει την ημερομηνία, για να μην τη γνωρίζει ούτε ο ίδιος, σημαίνει πως αποκλείεται ο μήνας Ιούνιος, καθώς η 17η είναι η μόνη ημερομηνία που μένει στον Ιούνιο, αποκλείοντας τη 18η, πράγμα που θα έκανε τον Albert να συμπεράνει ότι τα γενέθλια είναι στις 17 Ιουνίου. Στη συνέχεια, ο Bernard αναφέρει πως επείδη ο Albert δε γνωρίζει την ημερομηνία, αυτός τελικά την ανακαλύπτει. Πράγμα που μας οδηγεί στο ότι τα γενέθλια είναι στις 17 Αυγούστου, καθώς η 17η ενός μήνα είναι η μόνη που απομένει απ' τις τρεις αποκλίσεις που κάναμε προηγουμένως (αφαιρώντας τη 17 Ιουνίου), πράγμα που μπορεί να το συμπεράνει ο Bernard απ΄την άγνοια του Albert. Λειτουργώντας τώρα αντίστροφα, η παραπάνω υπόθεση υποδεικνύει πως ο Albert γνωρίζει πως τα γενέθλια είναι τον Αύγουστο. Και αφού η 17η Αυγούστου είναι η μόνη που μπορεί να οδηγήσει τελικά σε συμπέρασμα τον Bernard, είναι επόμενο και ο Albert, μετά απ' αυτό που είπε ο Bernard (ότι γνωρίζει την ημερομηνία), να γνωρίζει κ' αυτός ότι είναι τα γενέθλια στις 17 Αυγούστου. Οι υπόλοιπες ημερομηνίες, υπάρχουν ώστε να υπάρχουν ζεύγη των αριθμών 14,15 και 16 πράγμα που τις καθιστά άγνωστες σε κάθε περίπτωση ημερομηνίες και συνεπώς να αποκλειστούν απ' το γεγονός ότι ο Bernard ανακαλύπτει βάσει των παραπάνω στο διάλογο την ημερομηνία των γενεθλίων (17 Αυγούστου). Έτσι πιστεύω τουλάχιστον...
Επειδή ο Α. λέει ότι δεν ξέρει και ο Β. Άρα αποκλείεται να είναι 19 ή 18.. Τότε ο Β. θα ήξερε... Ότι είναι 18 Ιούνη ή 19 Μάη (μια φορά εμφανίζεται το 18 και μια το 19)... Μετά ο Β. λέει ότι ξέρει... Αν ήταν 14, 15 ή 16 δεν θα ήξερε (εμφανίζονται δύο φορές το καθένα )... Άρα είναι 17 η ημερομηνία που είπε η Γ. στον Β. Αλλά τους έχει δώσει μόνο 17 Ιούνη ως πιθανή ημερομηνία γι' αυτό το βρίσκει ο Β.Επειδή ο Α. λέει ότι δεν ξέρει και ο Β. Άρα αποκλείεται να είναι 19 ή 18.. Τότε ο Β. θα ήξερε... Ότι είναι 18 Ιούνη ή 19 Μάη (μια φορά εμφανίζεται το 18 και μια το 19)... Μετά ο Β. λέει ότι ξέρει... Αν ήταν 14, 15 ή 16 δεν θα ήξερε (εμφανίζονται δύο φορές το καθένα )... Άρα είναι 17 η ημερομηνία που είπε η Γ. στον Β.δηλ. ότι αν το ξέρει ο Β. τότε το ξέρει κι ο Α. Αν ήταν 17 Αυγούστου., δηλ. αν η Γ. Η μαμάκα που δεν λέει την ηλικία της είχε πει στον Α. ότι γεννήθηκε Αύγουστο, τότε ο Α. δεν θα ήξερε... Γιατί τον Αύγουστο υπάρχουν κι άλλες πιθανές ημέρες (14, 15)... ενώ τον Ιούνιο μόνο μία :17
Ο Albert ξέρει ότι ο Bernard δεν ξέρει. Άρα ξέρει ότι ο Bernard ΔΕΝ άκουσε 18 ή 19. Εφόσον το ξέρει αυτό, αποκλείεται ο ίδιος να άκουσε Μάιο ή Ιούλιο. Άρα η σωστή απάντηση είναι Ιούλιος ή Αύγουστος.Ο Bernard ξέρει λοιπόν εκείνη τη στιγμή, από την απάντηση του Albert, ότι ο Albert άκουσε Ιούλιο ή Αύγουστο.Εφόσον με αυτήν την νέα γνώση ο Bernard καταλαβαίνει τα γενέθλεια, πρέπει να άκουσε έναν αριθμό που δεν επαναλαμβάνεται και τον Ιούλιο και τον Αύγουστο. Άρα δεν άκουσε 14, αλλά άκουσε 16.Αυτή είναι η σωστή απάντηση λοιπόν, 16 Ιουλίου.Ο Albert το καταλαβαίνει επίσης, γιατί αν ο Bernard είχε ακούσει 14, δε θα μπορούσε να είχε καταλήξει με σιγουριά σε κάποια ημερομηνία. Άρα σίγουρα άκουσε 16.16 Ιουλίου λοιπόν, και με double check.
Από την πρώτη πρόταση του Α καταλαβαίνουμε πως η C δεν έχει πει τους αριθμούς 18 ή 19 στον Β διότι τότε ο Β θα ήξερε κατευθείαν πότε είναι τα γενέθλιά της, μιας και οι αριθμοί αυτοί είναι μοναδικοί (και επομένως δεν θα ίσχυε η πρόταση "αλλά ξέρω πως ούτε ο Bernard γνωρίζει".Επομένως, για να ξέρει ΣΙΓΟΥΡΑ ο Α πως ο Β δεν γνωρίζει, η C είπε στον Α τον μήνα Ιούλιο ή τον μήνα Αύγουστο.Ο Β μετά παραδέχεται πως αρχικά δεν γνώριζε (άρα όντως δεν του είπε 18 ή 19), αλλά μετά έμαθε. Αυτό σημαίνει πως ήταν μεταξύ 2 μηνών και ο Α τον βοήθησε με αυτό που είπε να αποκλείσει έναν από τους δύο μήνες. Επομένως, ένας από τους δύο μήνες που απέκλεισε ήταν ο Μάιος ή ο Ιούνιος. Άρα, η C δεν είχε πει στον Β τον αριθμό 14, διότι τότε ο Β θα ήταν μεταξύ Ιουλίου και Αυγούστου ούτως ή άλλως και άρα ο Α δεν θα τον είχε βοηθήσει καθόλου.Άρα καταλήγουμε σε 3 ημερομηνίες:16 Ιουλίου, 15 Αυγούστου, 17 Αυγούστου (αυτές έχουν αριθμούς κοινούς με μήνες που ο Α απέκλεισε και άρα βοήθησε τον Β).Τώρα, ο Α λέει πως τελικά μετά από αυτό που είπε ο Β κατάλαβε και αυτός ποια είναι η σωστή ημερομηνία.Αυτό σημαίνει πως είναι η 16 Ιουλίου, καθώς ο Α ξέρει μόνο το μήνα και αν ο μήνας ήταν ο Αύγουστος τότε ο Α δεν θα μπορούσε να ξέρει ποια από τις δύο μέρες είναι η σωστή.Επομένως, καταλήγουμε πως η σωστή ημερομηνία είναι η 16 Ιουλίου.(Άντε, και καλά μας αποτελέσματα!)
Ο Α ξέρει μόνο το μήνα. Για να ξέρει ότι ο Β δεν ξέρει πότε είναι τα γενέθλια, τότε αποκλείωνται οι μοναδικές ημερομηνίες 19 Μαϊου και 18 Ιουνίου. Επίσης αποκλείεται και η 17 Ιουνίου, γιατί αν ήταν Ιούνιος, ο Α θα ήξερε πότε είναι τα γενέθλια, αφού μετά τον αποκλεισμό της 18 Ιουνίου είναι η μόνη μέρα στον Ιούνιο που απομένει.Ο Β ξέρει μόνο τη μέρα. Είναι μια από τις 14, 15, 16 και 17. Μετά από τη δήλωση του Α, καταλαβαίνει ότι τα γενέθλια δεν είναι τον Ιούνιο και λέει ότι ξέρει πότε είναι τα γενέθλια. Εφόσον το 17 είναι η μόνη ημερομηνία που είναι πλέον μοναδική (κάτι που το ξέρουν πλέον και οι δύο), για να κάνει τέτοια δήλωση ο Β, πάει να πει ότι τα γενέθλια είναι στις 17 Αυγούστου.Η τελευταία δήλωση του Α μας είναι αδιάφορη και αχρείαστη, αλλά εφόσον ο Α ήξερε για τον Αύγουστο, μετά τη δήλωση του Β μπορεί κι αυτός να βρει την ημερομηνία των γενεθλίων.17 Αυγούστου.
Εγώ προσωπικά είμαι της απάντησης "17 Αυγούστου" για τον εξής λόγο. Δεν καταλαβαίνω πως διώχνεται τον Μάιο τόσο εύκολα. Έχει 2 περίσσιες ημερομηνίες (15 και 16). Διώχνεις τις 2 μοναδικές τιμές και την τελευταία του Ιουνίου και μένουν οι υπόλοιπες. Η μόνη μονή είναι 17 Αυγούστου που αποδεικνύει την εικασία του Bernard ότι πλέον γνωρίζει.Σας παρακαλώ εξηγήστε μου ΓΙΑΤΊ φεύγει ο Μάιος. Μην μου πείτε ότι φεύγει γιατί έχει μία μοναδική τιμή που δεν ισχύει. Εξηγήστε το λίγο σωστά να καταλάβουμε και εμείς.